Para quien le pueda interesar o quien no este al corriente encontre este enlace con la informacion mas basica,,esta bastante bien explicado,,luego veremos que es varianza y que no,,jeje 

 TEORÍA DE GRUPOS - GRUPOS ABELIANOS

Definición; Grupo abeliano, - Un grupo (G, +) es abeliano si y solo si la ley de composición interna definida en él es conmutativa:

    ∀x,y∈G.−x+y=y+x (en notación aditiva)

Consecuencias:

1ª) todo subgrupo de un grupo abeliano es abeliano,

2ª) Todo subgrupo de un grupo abeliano es invariante, es decir:

    x+H=H+x, donde x∈G

En los subgrupos abelianos la propiedad de invarianza es más fuerte que en los subgrupos no abelianos, puesto que para los demás se tiene:

    x1+H=H+x2

donde x1,x2 pertenecen a G.
En adelante, todo lo que demos sobre grupos será referido a grupos abelianos mientras no se especifique lo contrario.

OPERACIONES CON LOS SUBGRUPOS DE UN GRUPO ABELIANO

Intersección. - La intersección de subgrupos de un grupo abeliano es un subgrupo abeliano.

Suma. - La suma de dos subgrupos de un grupo abeliano es un subgrupo abeliano que se define en la forma:

    H+K={h+k/h∈H∧k∈K}

Demostración.-

    x,y∈H+K{x=h1+k1y=h2+k2}x−y==(h1+k1)−(h2+k2)=(h1−h2)+(k1−k2)

y puesto que H y K son grupos (h1−h2)y(k1–k2) serán respectivamente de cada uno de ellos.

La definición de suma de dos subgrupos se puede generalizar a un número finito cualquiera de subgrupos.

Definición : Suma directa .- Si H y K son dos subgrupos de un grupo abeliano tales que su intersección se reduce al elemento cero, H∩K=0 , entonces su suma es directa y se denota en la forma H⊕K

Teorema.- La condición necesaria y suficiente para que la suma de dos subgrupos sea directa es que todo elemento de dicha suma se exprese de manera única como suma de un elemento de H y otro de K.

Condición necesaria, - Sea x∈H+K y supongamos que x se puede expresar en dos formas

    x=h1+k1x=h2+k2}0=(h1−h2)+(k1−k2)⇒⇒h1−h2=k1−k2∈H∩K

de aquí se deduce que ha de ser:

    h1−h2=k1−k2=0⇒h1=h2yk1=k2

por lo que existen un único h∈H y un único k∈K tales que x=h+k

Condición suficiente.- Sea , podemos poner:

    y=h+k, donde h∈Hyk∈K

    y=h−x+k+x

de aquí se deduce

    h−x=hk+x=k}⇔x=0⇔H∩K={0} y la suma es directa H⊕K

http://www.matematicasypoesia.com.es/matematicas/Grupos-Abelianos-01.htm

Bueno,pues esta tarde nos pondremos con un proyector de un grupo abeliano y pondremos en marcha el numero ''pi'':

Definición : Proyector.- Sea (G, +) un grupo abeliano; se dice que un endomorfismo π de G es un proyector si cumple:

    π2(x)=π(x),∀c∈G; donde π2(x)=π[π(x)]

Proposición.- Si π es un proyector sobre G, entonces se cumple: G=Im π⊕Ker π

Demostración.- Sea x∈G, podemos poner:

    ∀x∈G,x=[x−π(x)]+π(x)(∗)

y, por otro lado:

    π(x)∈Im π(∗∗)

    π[x−π(x)]=π(x)−π2(x)=π(x)−π(x)=0

    ⇔x−π(x)∈Ker π(∗∗∗)

por lo tanto, según las ecuaciones (*), (**) y (***) podemos poner: G=Im π⊕Ker π(a)

Sea ahora:

    ∀x∈Im π∩Ker π

Podernos poner:

    x∈Ker π⇒π(x)=0⇒π2(y)=π(x)=0x∈Im π⇒∃y∈G/π(y)=x⇒π2(y)=π(y)=x}x=0⇒⇒Im π∩Ker π={0}

y considerando el resultado final y (a) podemos poner finalmente:

    G=Im π⊕Ker π

Propiedad.- Si G=H⊕K, entonces existe un proyector π cuyo núcleo es K y cuya imagen es H.

Demostración.- Sea G=H⊕K, podemos poner:

    ∀x∈G∃!h∈H∃!k∈K/x=h+k

Definimos la correspondencia π en la forma:

    π:G→G/π(x)=k

Esta correspondencia, cumple las siguientes propiedades:

    1º.- Es aplicación

        ∀x∈G∃!π(x)=k, por ser G=H⊕K
    2º-Es Homomorfismo:

        π(x+y)=π[(h+k)+(h′+k′)]==π[(h+h′)+(k+k′)]=k+k′=π(x)+π(y)
    3º.- Podemos poner:

        π2(x)=π[π(x)]=π(k)=π(0+k)=k=π(x)

En consecuencia, π es un proyector y verifica:

    Ker π={x∈G/π(x)=0}={x∈G/x=x+0,x∈K,0∈H}=K

    Im π={x∈G/∃y∈G,π(y)=x}={x∈G/x∈H}=H

jajajja seras mamon numero pi de pitufo no jeje

Bueno,primera prueba despues de los estudios mas basicos en grupos abelianos: